Représentation vectorielle d’un plan passant par trois points

Représentation vectorielle ou paramétrique d’un plan

L’équation vectorielle d’un plan est composée des coordonnées d’un point et des composants de deux vecteurs. Elle peut être écrite de la manière suivante :

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \\ z_0 \end{pmatrix} +k \begin{pmatrix} x_{v_1} \\ y_{v_1} \\ z_{v_1} \end{pmatrix}+l\begin{pmatrix} x_{v_2}\\ y_{v_2}\\ z_{v_2} \end{pmatrix}$

ou $\left\{\begin{matrix} x=x_0+kx_{v_1}+lx_{v_2} \\ y=y_0+ky_{v_1}+ly_{v_2} \\ z=z_0+kz_{v_1}+ly_{v_2} \end{matrix}\right.$ avec $k\in\mathbb{R}$ $l\in\mathbb{R}$

Les termes x₀, y₀ et z₀ sont les coordonnées de n’importe quel point qui appartient au plan.

Les termes x_v1, y_v1, z_v1 et x_v2, y_v2, z_v2 sont les composantes de deux vecteurs parallèles au plan (vecteurs directeurs. Attention : ces deux vecteurs ne doivent pas être colinéaires (parallèles) entre eux.

Les lettres k et l sont deux paramètres représentant un nombre réel.

Il existe une infinité de points sur un plan et une infinité de vecteurs parallèles à un plan. Il existe donc une infinité de représentations vectorielle d’un même plan.

Déterminer la représentation vectorielle d’un plan passant par trois points A, B et C

Pour x₀, y₀ et z₀ et on choisira les coordonnées de n’importe quel de ces trois points. Si possible il est préférable de choisir le point qui a des coordonnées nulles.

Pour x_v1, y_v1, z_v1 et x_v2, y_v2, z_v2 on peut choisir n’importe quel vecteur qui relie deux de ces points comme les vecteurs $\inline \small \overrightarrow{AB}$ , $\inline \small \overrightarrow{AC}$ , $\inline \small \overrightarrow{BC}$ , $\inline \small \overrightarrow{BA}$ etc.

Le simulateur dessous utilise le point A et les vecteurs $\inline \small \overrightarrow{AB}$ et $\inline \small \overrightarrow{AC}$ pour donner une représentation vectorielle du plan α.

Pour voir comment on détermine les traces d’un plan cliquez ici.